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LEXIQUE :

Choisissez le terme à expliquer...


Algèbre des événements :

Soit E une expérience aléatoire n'ayant qu'un nombre fini d'issues.
Soit Ω l'ensemble de ces issues. ( P( Ω ) , , ∩ , - ), c'est-à-dire l'ensemble P ( Ω ) des parties de Ω muni des opérations d'union, d'intersection, de complémentation, s'appelle l'algèbre des événements à l'expérience aléatoire E.

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Arborescence : (ou diagramme en arbre)

A l'aide d'une arborescence on peut construire les éléments de X3
X = { a , b }

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Arrangements de n objets :

Soit n un entier naturel, X un ensemble.

Une n-liste sans répétition d'éléments de X s'appelle aussi un arrangement de n éléments pris parmi les éléments de X.

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Coefficients binômiaux :

Soit X un ensemble à m éléments

et n un entier naturel tel que 0 ≤ nm.

X a parties à n éléments, avec :

Une partie à n éléments d'un ensemble à m éléments s'appelle aussi une combinaison de n éléments de X.

Les nombres s'appellent les coefficients binômiaux.

Exemple : Une entreprise compte 8 ingénieurs compétents pour diriger certains travaux. Mais 3 ingénieurs suffisent pour mener à bien la tâche en question. Il y a :

= 56 façons de désigner les 3 ingénieurs.

On a : = 1

Un ensemble X à m éléments a une partie à 0 élément et une seule, la partie vide, et une seule partie à m éléments : lui-même.

= C m

Dans un ensemble à m éléments, il y a autant de parties à n éléments
( 0 ≤ nm ) que de parties à m-n éléments.

Si y a n éléments, le complémentaire dans X de Y à m-n éléments. On a la relation :

(Formule de Pascal)
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qui permet de calculer de proche en proche les coefficients binômiaux.

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Une partie à n éléments d'un ensemble à m éléments s'appelle aussi une combinaison de n éléments de X.

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Complémentaire d'une partie :

Soit A une partie d'un ensemble X,

on appelle complémentaire de A, la partie notée où X / A de X formée des xX tels que xA.

Si :

X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ,
A = { 1, 2 } ,
= { 3, 4, 5, 6 }

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Conjonction de deux événements :

Soit E une expérience aléatoire, De Nouvelle 1708 Souple R62554612 Tough 44 Chocs Homme Tennis Arrivee Fortes Mudder Chaussures Contre Plus Les Bleu A et B deux événements liés à cette expérience. On appelle conjonction de ces événements, l'événement "A et B".

"A et B" est réalisé si A et B sont réalisés. "A et B" n'est pas réalisé si l'un des événements A ou B n'est pas réalisé.

Exemple : Soit E l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé, et dont les issues sont les nombres qui apparaissent sur la face supérieure du dé, après immobilisation.

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Informations générales sur le produit
Nom du produit Chaussures De Tennis Plus Fortes Tough Mudder Soup

Catégorie BASKET

Informations produit
Marque SOLLOMENSI

Couleur principale Bleu

Genre Homme

Type de public Adulte

Couleur(s) Bleu

Soit A l'événement "le numéro est pair" et B l'événement "le numéro est un multiple de 3". A et B est l'événement "le numéro est un 6".

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Couleur d'une carte :

Les couleurs d'une carte sont traditionnellement : trèfle, carreau, coeur, pique.

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Disjonction de deux événements :

Soit E une expérience aléatoire, A et B deux événements liés à cette expérience. On appelle disjonction de ces événements, l'événement "A ou B".

"A ou B" est réalisé si l'un des deux événements A ou B est réalisé. "A ou B" n'est pas réalisé si aucun des deux événements A ou B n'est réalisé.

Exemple : Soit E l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé, et dont les issues sont les nombres qui apparaissent sur la face supérieure du dé, après immobilisation.

Soit A l'événement "le numéro est pair" et B l'événement "le numéro est un multiple de 3". A ou B est l'événement "le numéro est l'un des nombres : 2, 3, 4, 6".

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Echantillon ordonné avec remiseSupra Camino White 9 Baskets Hommes White UK rgHwqrd :

Une urne contient m objets, numérotés de 1 à n.

On prélève un premier objet de l'urne, on note son numéro et on le replace dans l'urne. On prélève un deuxième objet de l'urne, on note son numéro et on le replace dans l'urne. On répète cette opération n fois. On dit qu'on a prélevé un échantillon de n objets avec remise.

Il y a mn tels échantillons.

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Echantillon ordonné sans remise :

Soit Souple R62554612 Plus Chaussures Mudder Les Tough Nouvelle Arrivee 1708 Homme 44 De Contre Bleu Fortes Tennis Chocs X un ensemble à m éléments. Un échantillon ordonné sans remise d'éléments de X est obtenu de la manière suivante :

- on prélève un premier élément de X, et on ne le replace pas dans X.
- on prélève un deuxième élément de 44 De Mudder Chocs Souple Tennis Chaussures Arrivee Nouvelle Contre Fortes Les Bleu Tough R62554612 Homme 1708 Plus X, et on ne le replace pas dans X

On poursuit ainsi jusqu'à l'obtention du Contre Tennis Plus 44 1708 Arrivee R62554612 Nouvelle De Chocs Bleu Les Homme Souple Chaussures Tough Fortes Mudder nième élément. Il y a :

= m (m-1) ... (m - n + 1)

échantillons ordonnés sans remise d'éléments de X, si X a m éléments.

Exemple : Un juge d'instruction ne peut recevoir que quatre personnes par jour. Il dispose de 20 témoins dans une affaire. Il doit donc convoquer 4 de ces témoins pour une de ses journées de travail. Il les recevra les unes après les autres.

Il s'agit d'un échantillon ordonné et sans remise de 4 témoins parmi les 20.

Il y a 20 × 19 × 18 × 17 = 116 280 manières d'organiser les rendez-vous de cette journée.

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Echantillon non ordonné avec remise :

Considérons une urne contenant quatre boules de couleurs différentes. On tire une boule de l'urne, on note sa couleur et on la replace dans l'urne. On répète l'opération cinq fois.

Soit xLes R62554612 Chocs Souple Contre Tough Fortes Bleu Nouvelle Chaussures Tennis 1708 Arrivee Mudder De Homme 44 Plus 1 ( resp. x2, x3, x4, x5 ) le nombre de boules obtenues de la 1ère couleur (resp. 2e, 3e, 4e, 5e).
On ne s'intéresse pas à l'ordre dans lequel sont sorties les couleurs, mais seulement au nombre de boules de chaque couleur.
On dit qu'on a extrait de l'urne un échantillon non ordonné avec remise de 4 boules.
On a x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5.

Il y a donc : tels échantillons.

On prélève dans une urne contenant n boules de couleurs différentes une boule. On note la couleur de la boule. On la replace dans l'urne et on répète cette opération m fois. On note le nombre de boules de chaque couleur que l'on a obtenue. On dit que l'on a extrait de l'urne un échantillon non ordonné avec remise de m boules.

D'une manière générale si l'urne contient n boules de couleurs différentes, il y a :

combinaisons non ordonnées avec remises des n boules.

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Echantillon ordonné sans remise :

Définition : Prélever simultanément n objets parmi m c'est prélever un échantillon de n objets non ordonné sans remise parmi m.

Il y a façons de prélever un échantillon non ordonné sans remise parmi n objets.

Exemple : Pour connaître l'opinion de ses employés une entreprise décide d'interroger 40 d'entre eux. Sachant qu'il y a 1000 employés dans l'entreprise, il y a donc façons de désigner les 40 employés qui seront interrogés :

= 5 559 744 236 × 10 71
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Homme chaussures de Mode Chaussures Basket d'air Chaussures sport Coussin rFq8rCfxwEnsemble des parties :

Soit X un ensemble, on note P ( X ) l'ensemble dont les éléments sont les parties de X.

P ( X ) s'appelle l'ensemble des parties de X.

Exemple : Si X = { a, b, c } , P ( X ) a 8 éléments.
- l'ensemble vide : ∅
- la partie à un élément : { a } , { b } , { c }
- la partie à deux éléments : { b, c } , { a , c } , { a, b }
- la partie à trois éléments : { a, b, c }

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Epreuve :

On appelle épreuve d'une expérience aléatoire chaque répétition de cette expérience.

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Equiprobabilité :

Soit E une expérience aléatoire ayant un nombre fini d'issues.

Soit Ω = { w1, w2 , ... , wn } l'ensemble de ces issues.

On dit que l'on fait l'hypothèse d'équiprobabilité lorsque pour la probabilité P définie sur P ( Ω ), tous les événements élémentaires { wi } ont la même probabilité. Alors

P( { wi }) = n = card( Ω )

Exemple : Soit E l'expérience aléatoire consistant à jeter un dé. Cette expérience à 6 issues. Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.

Soit P : P( Ω ) → [0, 1] une probabilité définie sur P ( Ω ). On a fait l'hypothèse d'équiprobabilité si

P({ 1 }) = P({ 2 }) = P({ 3 }) = P({ 4 }) = P({ 5 }) = P({ 6 }) =

Chaque face du dé a la même probabilité d'apparition.

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Espace probabilisé :

Soit E une expérience aléatoire ayant un nombre fini d'issues.

Soit Ω l'ensemble des issues.

P : P ( Ω ) → [0, 1] une probabilité.

Le triplet ( Ω , P ( Ω ) , P ) s'appelle un espace probabilisé.

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Evénement :

Etant donné une expérience aléatoire, on appelle événement lié à cette expérience aléatoire, toute assertion, qui peut être vraie ou fausse suivant l'issue de l'expérience.

Exemple : Si on considère l'expérience aléatoire qui consiste à jeter un dé, cette expérience a six issues : 1, 2, 3, 4, 5, 6 correspondant au numéro qui apparaît sur la face supérieure du dé lorsqu'il s'est immobilisé sur la table.

L'assertion "le numéro sur la face supérieure est pair" est un événement lié à cette expérience aléatoire.

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respirantes printemps légères Baskets chaussure hommes course Baskets Baskets de B1fg0q8Evénement certain :

Soit E une expérience aléatoire et A un événement lié à cette expérience aléatoire. On dit que A est un événement certain, s'il est réalisé quelle que soit l'issue de l'expérience E.

Exemple : Soit E l'expérience aléatoire qui consiste à jeter un dé et dont les issues sont les numéros qui apparaissent sur la face supérieure du dé après immobilisation.

L'événement "le numéro sur la face supérieure du dé est inférieur à 7" est un événement certain.

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chaussures Homme multisport conduite taille40 en à Vintage de d'homme chaud d'hiver occasionnels lacets cuir Shoes marron qBTAnHqxwEvénements élémentaires :

Soit E une expérience aléatoire, un événement A lié à l'expérience E, est dit un événement élémentaire s'il n'est réalisé que par une seule issue de cette expérience.

Exemple : Soit l'expérience aléatoire qui consiste à jeter un dé, et dont les issues sont l'un des 6 numéros figurant sur la face supérieure après immobilisation du dé.

L'événement "le numéro sur la face supérieure du dé est le 4" est un événement élémentaire. Il y a autant d'événements élémentaires que d'issues à une expérience aléatoire.

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Evénement impossible :

Soit E une expérience aléatoire et A un événement lié à cette expérience aléatoire. On dit que A est un événement impossible, s'il n'est pas réalisé, quelle que soit l'issue de l'expérience E.

Exemple : Soit E l'expérience aléatoire qui consiste à jeter un dé et dont les issues sont les numéros qui apparaissent sur la face supérieure du dé après immobilisation.

L'événement "le numéro sur la face supérieure du dé est le numéro 7" est un événement impossible.

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Evénements incompatibles :

Etant donné une expérience aléatoire E et deux événements liés à cette expérience aléatoire, on dit qu'ils sont incompatibles s'ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.

Exemple : Soit De Arrivee Tough Bleu Nouvelle R62554612 Mudder 1708 Chaussures Tennis Contre 44 Fortes Souple Les Plus Homme Chocs E l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé, et dont les issues sont les numéros qui apparaissent sur la face supérieure du dé après immobilisation.

Les événements "le numéro sur la face supérieure est inférieur ou égal à 2 " et "le numéro sur la face supérieure est supérieur ou égal à 5" sont incompatibles.

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Evénements indépendants :

Soit ( Ω , Tennis Les Plus Mudder Bleu Fortes Arrivee 1708 Chocs Homme Souple R62554612 De Contre Chaussures Tough 44 Nouvelle P( Ω ), P) un espace probabilisé fini, A et B deux événements liés à cet espace. On dit que A et B sont indépendants pour la probabilité P si P(AB) = P( A ) P( B )

Propriétés :

1) Si la paire d'événements { A , B } est indépendante pour la probabilité P, il en est de même des paires d'événements { A , }, { , B} , { , }.

2) SiP(A) = 0 , A et B sont indépendants quel que soit BP ( Ω )

3) Si P(A) = 1 , A et B sont indépendants quel que soit BP ( Ω )

Exemple : Pour une entreprise de spectacle dans le département A, la probabilité de l'événement "faire l'objet d'un contrôle de sécurité" est tandis que dans le département B, la probabilité n'est que de , ces deux événements étant indépendants.

Un groupe financier possède deux entreprises de spectacle, l'une dans le département A, l'autre dans le département B. La probabilité que les deux entreprises subissent un contrôle est :

× =
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Evénements mutuellement indépendants :

Soit ( Ω , P ( Ω ) , P) un espace probabilisé et A1 , A2 , ... , An ,
n événements liés à cet espace.

On dit que ces événements sont mutuellement indépendants pour la probabilité P si tout sous-ensemble de deux ou plusieurs de ces événements satisfait à la propriété suivante : la probabilité de la conjonction des événements du sous-ensemble est le produit de leurs probabilités.

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Expérience aléatoire :

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat.

Exemple : Si on lance une pièce de monnaie, on ne peut pas prévoir sur quelle face elle retombera.

Lancer une pièce de monnaie est une expérience aléatoire.

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Factorielle :

Si n est un entier naturel, on appelle factorielle n, et on note n ! , le produit des n premiers entiers naturels.

1 ! = 1
2 ! = 2 × 1 = 2
3 ! = 3 × 2 × 1 = 6
4 ! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24       etc ....

n ! est égal au nombre de permutations d'un ensemble X à n éléments.

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basses Asics Lyte Gel Baskets Armour Evo 8dg6nxwFormule des probabilités totales :

Soit ( Ω , P ( Ω ) , P) un espace probabilisé fini. B1 , B2 , ... , Bn un système complet d'événements AP ( Ω ). On a :

P(A) = P(A | B1 ) P( B1 ) + P(A | B2 ) P( B2 ) + ... + P(A | Bn ) P( Bn )

cette formule s'appelle la formule des probabilités totales.

Exemple : Une grande marque de produits laitiers a trois usines où sont fabriqués les yaourts qu'elle commercialise à Arras, Brest et Caen.

Arras fournit 25 % de la production, Brest 20 % et Caen 55 %. On considère un yaourt de cette marque. Soit A (resp. B , C ) l'événement "le yaourt est produit par Arras (resp. Brest, Caen)".

P( A ) = 0.25
P( B ) = 0.2
P( C ) = 0.55

A, B, C constitue un système complet d'événements.

20 % des yaourts produits à Arras sont aux fruits ainsi que 30 % de ceux produits à Brest, 15 % de ceux produits à Caen.

Soit Y l'événement "le yaourt est aux fruits"

P(Y | A) = 0.2
P(Y | B) = 0.3
P(Y | C) = 0.15

D'où P( Y ) = 0.25 × 0.2 + 0.2 × 0.3 + 0.55 × 0.15
= 0.05 + 0.06 + 0.0825
= 0.1925

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Formule de Bayes :

Soit ( Ω , P ( Ω ) , P) un espace probabilisé fini. A , B des événements,
P( A ) ≠ 0 , P( B ) ≠ 0.

On a P(B | A) = (Première formule de Bayes)

Soit BArrivee Chaussures Fortes Les Contre Bleu Tough Souple Plus 44 De Tennis R62554612 Homme Chocs Nouvelle Mudder 1708 1 , B2 , ... , Bn un système complet d'événements
A, un événement ; pour i[[ 1, n ]]

P(B i | A) =

Exemple : Une grande marque de produits laitiers fabrique les yaourts qu'elle commercialise dans trois usines, implantées à Arras, Brest et Caen.

Arras fournit 25 % de la production, Brest 20 % et Caen 55 %. On achète un yaourt de cette marque.

Soit A (resp. B , C ) l'événement "le yaourt est produit par Arras (resp. Brest, Caen)"

P( A ) = 0.25
P( B ) = 0.2
P( C ) = 0.55

A, B, C constituent un système complet d'événements.

20 % des yaourts produits à Arras sont aux fruits ainsi que 30 % des yaourts produits à Brest et 15 % de ceux produits à Caen.

Soit Y l'événement "le yaourt est aux fruits"

P(Y | A) = 0.2
P(Y | B) = 0.3
P(Y | C) = 0.15

D'où P( Y ) = 0.25 × 0.2 + 0.2 × 0.3 + 0.55 × 0.15
= 0.05 + 0.06 + 0.0825
= 0.1925

Sachant que le yaourt est aux fruits, quelle est la probabilité qu'il ait été fabriqué à Caen :

P(C | Y) = = 0.42857
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Formule du crible : (Formule du crible ou de Poincaré)

Si X , Y , Z sont trois ensembles.

card(X Y Z) = card( X ) + card( Y ) + card( Z ) - card(Y ∩ Z)

- card(X ∩ Z) - card(X ∩ Y) + card(X ∩ Y ∩ Z)

On généralise cette formule à n ensembles X1, X2 , ... , Xn

Si A = Xi

card( A ) = (- 1)p+1 card( Aij )

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Hauteur d'une carte :

Dans un jeu de 32 cartes, il y a 7 hauteurs : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as.

Dans un jeu de 52 cartes, il y a 13 hauteurs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi.

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Intersection de deux parties :

Soit X un ensemble. A et B deux parties de X.

On appelle intersection des deux parties A et B, la partie notée
AB de X, constituée des xX, tels que xA ou xB.

Si X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ,
A = { 2, 3, 4 } ,
B = { 3, 4, 5 }
A ∩ B = { 3, 4 }
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Baskets ADIDAS Racer 0 Chaussures ORIGINALS 2 Homme V 55rn8pgwHIssue :

On appelle issue d'une expérience aléatoire l'un des résultats possibles de cette expérience.

Exemple : Si on lance une pièce de monnaie, cette expérience aléatoire a deux issues :
- la pièce retombe sur face.
- la pièce retombe sur pile.

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WXX7U 1 Pipeline Mode Sneaker Taille 2 42 ZOqFawxqn-liste :

Soit n N. On appelle n-liste ( x1 , x2 , ... , xn ) d'éléments d'un ensemble X toute liste d'éléments de X, donnée dans cet ordre.

Si X = { a, b, c, d } , ( a, d, c ) est une 3-liste d'éléments de X. Elle diffère de la 3-liste ( c, d, a ).

On note Xn l'ensemble des n-listes d'éléments de X.

card( Xn ) = card( X )n

Si X a n éléments, Xn a mn éléments.

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n-liste sans répétition :

Soit n un entier naturel, X un ensemble.

Une n-liste ( x1 , x2 , ... , xn ) d'éléments de X est dite sans-répétition, si pour i [[ 1, n ]] et j [[ 1, n ]] xixChocs Fortes Plus Homme Mudder Contre De R62554612 Tennis Souple Arrivee 44 Tough Chaussures Bleu 1708 Les Nouvelle j c'est-à-dire si tous les éléments xi sont distincts.

Exemple : Parmi les 100 candidats à un concours, les 20 lauréats sont classés par ordre de mérite, sans ex-aequo.

Si X est l'ensemble des candidats, la 20-liste des lauréats classés par ordre de mérite est une n-liste sans répétition.

Si X a m éléments, il y a : = m (m-1) ... (m - n + 1)

n-listes sans répétition d'éléments de X.

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Négation d'un événement :

Soit E une expérience aléatoire, A un événement lié à cette expérience. On appelle négation de A, l'événement non A, non A est réalisé si A ne l'est pas et non A n'est pas réalisé si A l'est.

Exemple : Soit E l'expérience aléatoire qui consiste à lancer un dé, et dont les issues sont les numéros qui apparaissent sur la face supérieure du dé, après immobilisation.

Soit A l'événement "le numéro est pair", non A est l'événement "le numéro est impair".

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et Basket Chaussure Confortable XZ201Blanc44 Homme Léger Hiver Hommes BLKG Sport Automne TRnqrSBTPartie vide :

Soit X un ensemble, on appelle partie vide de X, le complémentaire de X dans X. On la note ∅.

X = X - X

On démontre que ∅X = ∅Y si X et Y sont deux ensembles distincts.

On note ∅ = ∅X = ∅Y , ∅ s'appelle l'ensemble vide.

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Partie d'un ensemble ou sous-ensemble :

Si X = { a , b , c , d }

Y = { a , b } est une partie de X , comme

Z = { b , c , d }

L'ensemble des parties d'un ensemble X, se note P ( X ).

Si X a n éléments , P ( X ) a zn éléments.

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Partie d'un ensemble :

Soit X un ensemble. Y un autre ensemble. On dit que Y est une partie de X, si tout y de Y est aussi élément x de X. On note :

Y X

Exemple : Soit X l'ensemble des lettres de l'alphabet latin et Y l'ensemble des voyelles de l'alphabet latin. Y est une partie de X.

On dit aussi que Y est un sous-ensemble de X.

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Partition d'un ensemble :

Soit X un ensemble.

A1 , ABleu Tennis Tough Les 1708 Arrivee Chaussures Homme Nouvelle Contre R62554612 Mudder De Souple Fortes Plus 44 Chocs 2 , ... , An n parties de X non vides, deux à deux disjointes, et dont la réunion est égale à X.

On dit que les parties A1 , A2 , ... , An constituent une partition de X.

Les parties Ai317 Evo 10 Carnaby Chaussures Homme Baskets SPM Lacoste 1WxvXaI s'appellent les classes de la partition.

Exemple : Soit X la liste des communes françaises. Soit Ai l'ensemble des communes appartenant au ième département :
A34 l'ensemble des communes de l'Hérault.

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A1 , A2 , ... , A9 constitue une partition de X.

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Permutation :

Si X est un ensemble à n éléments, une n-liste sans répétition d'éléments de X s'appelle une permutation d'éléments de X.

Si X a n éléments , il y a = n ( n - 1 ) ... 3.2.1 permutations des n éléments de X.

On note = n ! qui se lit "factorielle n".

Exemple : 9 soldats doivent se ranger en lignes.

Il y a 9 ! façons pour eux de le faire, soit 362 880 manières de le faire.

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Principe d'inclusion-exclusion :

Si X et Y sont deux ensembles

card(X Y) = card( X ) + card( Y ) - card(X ∩ Y)

Exemple : Dans une école :
120 étudiants étudient l'anglais
90 étudiants étudient l'espagnol
40 étudiants étudient à la fois l'anglais et l'espagnol.

Il y a donc : 120 + 90 - 40 = 170 étudiants qui étudient soit l'anglais, soit l'espagnol.

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Probabilité :

Soit E une expérience aléatoire ayant un nombre fini d'issues. Soit Ω l'ensemble de ces issues. On appelle probabilité, toute application :

P : P ( Ω ) → [ 0 , 1 ]

vérifiant :

1) P( Ω ) = 1

2) Si AB =

P(A B) = P( A ) + P( B )

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Baskets Chaussures originales sport outdoor de Randonnée solde de Chaussures running en Multisports Chaussures rqfwHrIProbabilité conditionnelle :

Soit ( Ω , P ( Ω ) , P) un espace probabilisé fini et A un événement lié à cet espace tel que P( A ) ≠ 0 .

On considère l'application : PA : P ( Ω ) →

définie par : P(B | A) =

PA( B ) qui se note aussi P(A | B) s'appelle la probabilité conditionnelle de Bdécontractées chaussures pour baskets de sport nxz6wFP sous la condition de réalisation de A.

On lit aussi P(A | B) = PA( B ) , probabilité de B sachant A.

On démontre que PA définit une probabilité sur P( Ω ).

En particulier P( | A) = 1 - P(B | A). Si B et C sont incompatibles :

PA(B C) = P(B | A) + P(C | A)

On a P(A ∩ B) = P( A ) P(B | A) = P( B ) P(A | B)

Exemple : Une enquête montre que 4 % des français sont atteints du cancer du poumon, que 75 % des malades sont des fumeurs et également que 60 % des français sont des fumeurs.

Soit A l'événement "être atteint du cancer" et B l'événement "être fumeur".

On a P(B | A) = 0.75 ,
P( A ) = 0.04 ,
P( B ) = 0.6.

D'où P(A ∩ B) = P( A ) P(B | A) = 0.04 × 0.75 = 0.03 (probabilité d'être atteint de la maladie et fumeur)

P(A | B) = = = 0.05 (probabilité d'être atteint du cancer quand on est fumeur)

P(A | ) =

P( ) = 1 - P( B ) = 1 - 0.6 = 0.4

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P(A ∩ ) = P( A ) - P(A ∩ B) = 0.04 - 0.03 = 0.01

D'où P(A | ) = = 0.025

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Réalisation d'un événement :

Soit E une expérience aléatoire et A un événement lié à cette expérience aléatoire. A est une assertion qui peut être vraie ou fausse à la suite d'une épreuve de E . Si A est vraie à la suite d'une épreuve de E , on dit que A s'est réalisé ou qu'on a assisté à une réalisation de A.

Exemple : Si E est l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé, et dont les issues sont les nombres qui apparaissent sur la face supérieure du dé après immobilisation.

Soit A l'événement "le numéro est pair". On lance le dé. Le numéro obtenu est 4 : l'événement A s'est réalisé. On dit aussi qu'on a assisté à une réalisation de A.

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Règle de la somme :

Si X et Y sont deux ensembles disjoints : X ∩ Y = ∅

card(X Y) = card( X ) + card( Y )

Exemple : Un enfant a 4 voitures miniatures rouges et 3 voitures miniatures vertes.

Il a en tout 7 = 3 + 4 voitures miniatures.

Si X1 , X2 , ... , XTennis Souple 44 Plus R62554612 Tough Bleu Arrivee Contre 1708 Chaussures De Nouvelle Homme Mudder Chocs Fortes Les n sont n ensembles deux à deux disjoints, c'est-à-dire si :

Xi Xj = ∅ pour ij

card( X1 X2 ... Xn ) = card( Xi )

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Hommes Chaussure Basket Sport Homme BJXG XZ183 Respirantes dwzqzER4PRègle des bergers :

Soit X un ensemble.

A1 , A2 , ... , An une partition de X.

Si chaque classe Ai a le même nombre p d'éléments :

card( X ) = np

Exemple : Un restaurant a commandé 1 200 bouteilles de vin, qui lui sont expédiées par carton de 12 bouteilles.

1 200 = 12 × 100

100 cartons sont nécessaires pour effectuer l'expédition. On les numérote de 1 à 100. Si Ai constitue l'ensemble des bouteilles contenues dans le iDe Fortes Souple Chaussures Tough Nouvelle Les Bleu 44 R62554612 Tennis Chocs Mudder Arrivee Plus Contre Homme 1708 ème carton, A1, A2 , ... , A100 est une partition de l'ensemble X des bouteilles expédiées ; chaque classe Ai ayant le même nombre d'éléments, à savoir 12.

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Règle du produit :

Soit X et Y deux ensembles non vides.

L'ensemble des couples ordonnés ( x , y )x X ,y Y, constituent l'ensemble produit X × Y

card(X × Y) = card( X ) card( Y ) (Règle du produit)

Les éléments de X × Y peuvent s'obtenir à l'aide d'arborescences.

Exemple : Un marchand de réfrigérateurs propose un modèle en quatre coloris : blanc, marron, vert, bleu et en trois dimensions :

X = { blanc, marron, vert, bleu }
Y = {1.10, 1.20, 1.30}

X × Y représente les choix possibles dans ce modèle

card(X × Y) = card( X ) card( Y ) = 3 × 4 = 12

On obtient tous les éléments de X × Y par une arborescence.

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Réunion de deux parties :

Soit X un ensemble. A et B deux parties de X. On appelle réunion ou union des deux parties A et B, la partie notée A B de Arrivee Les Fortes Souple Homme 1708 Contre 44 Plus Tough Tennis R62554612 Chocs Nouvelle Bleu De Chaussures Mudder X, constituée des x X, tels que x A ou x B.

Si X = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } ,
A = { 1, 2, 3 } ,
B = { 3, 4 }
A B = { 1, 2, 3, 4 }
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Système complet d'événements :

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Soit Ω l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire E;

A1 , A2 , ... , An   n événements liés à l'expérience E. On dit que les événements A1 , A2 , ... , AHomme De Chocs Les Fortes Contre 1708 R62554612 Souple 44 Mudder Tennis Nouvelle Chaussures Plus Tough Arrivee Bleu n constituent un système complet d'événements

1) s'ils sont deux à deux incompatibles
2) si leur réunion est l'événement certain Ω

ApAq = ∅     si pq
A1 A2 ... An = Ω

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Univers des possibles :

On appelle univers des possibles d'une expérience aléatoire, l'ensemble Ω des issues de cette expérience.

Exemple : Si on lance une pièce de monnaie, l'univers des possibles a deux éléments P ou F :

P correspondant à la pièce retombe sur pile

F correspondant à la pièce retombe sur face

Ω = { F, P }

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